Felix Lau
Die Form der Paradoxie

Eine Einführung in die Mathematik und Philosophie der „Laws of Form“ von G. Spencer Brown
Carl-Auer 2008


Lau Form 40
Die Definition der Unterscheidung: Eine Definition ist eine Bestimmung aufgrund einer Grenzziehung, also einer Unterscheidung. Insofern legt die Definition der Unterscheidung auch fest, was eine Definition ist. Unterscheidung und Definition sind (letztlich beliebige, nur von einem Beobachter abhängende) Setzungen, für die mit George Spencer Brown gilt:

Definition: Unterscheidung ist perfekte Be-Inhaltung.“ (SPENCER BROWN 1997: 1)
Definition: Distinction is perfect continence.“ (
SPENCER BROWN 1969: 1)

Wenn man sich die Unterscheidung als Kreis auf einem Blatt Papier veranschaulicht, ist mit der Definition nicht mehr gemeint, als
dass das Treffen einer Unterscheidung eine Grenze in einem Raum zieht, die zwei Seiten derart voneinander trennt, dass ein Punkt von der einen Seite nur auf die andere gelangt, indem er die gemeinsame Grenze kreuzt. Allerdings ist mit dem Kreis als Veranschaulichung lediglich einer Unterscheidung (ohne Anzeige) noch nicht eine Innenseite von einer Außenseite geschieden. Auch wenn man gewohnt ist, das Kreisinnere beim Anblick eines Kreises sofort und eindeutig zu erkennen: streng genommen trennt ein Kreis (Boe: eine Grenze) nur zwei Seiten. Was Innen- und was Außenseite ist, hängt vom Standpunkt, also von der Anzeige ab.

Boe: De-finition - Begrenzung - setzen einer Grenze - schliessen: einschliessen - ausschliessen

Wäre die Unterscheidung nicht perfekt, würde sie nicht zwei Seiten perfekt voneinander trennen. In diesem Sinne können wir davon sprechen, dass die Definition der Unterscheidung eine Form der Schließung ist. Sie schließt dieses ein und jenes aus. Ebenso zeigt eine Anzeige diese, die angezeigte Seite einer Unterscheidung an, und nicht jene. Auch die Anzeige ist in dem Sinne perfekt, als sie nicht für die unangezeigte Seite verwendet wird.

Boe: kreuzen - to cross: eine Grenze überschreiten

Aus den Ideen der Unterscheidung und der Anzeige sowie der Definition ergeben sich zwei Aspekte:

Eine Unterscheidung zu treffen meint zum einen immer, eine Grenze so zu kreuzen, dass man von der Innenseite, der angezeigten Seite, in den Raum gelangt, der durch die Markierung bezeichnet ist, und zum anderen, durch
die Anzeige die Unterscheidung zu markieren
. Das englische, von George Spencer Brown für die Markierung einer Unterscheidung verwendete Wort cross führt diese beiden Aspekte explizit mit. Man kann es als Substantiv wie als Verb lesen.
Als Unterscheidung steht das cross für die Aufforderung, die Grenze zu kreuzen.
Als Anzeige steht das cross für die Anwesenheit einer Markierung der Unterscheidung, im Gegensatz zur Abwesenheit.

Dass George Spencer Brown der Unterscheidung einen operationalen Vorrang vor der Anzeige einräumt, was ja schon die Wahl der Form als Form der Unterscheidung bestimmte (siehe oben die ersten beiden Sätze der Laws of Form), findet sich auch in der folgenden Formulierung:

„Wenn einmal eine Unterscheidung getroffen wurde, können die Räume, Zustände oder Inhalte auf jeder Seite der Grenze, indem sie unterschieden sind, bezeichnet [angezeigt; F. L.] werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 1)
„Once a distinction is drawn, the spaces, states, or contents on each side of the boundary, being distinct, can be indicated.“ (
SPENCER BROWN 1969: 1)

Die Möglichkeitsform dieser Formulierung („can be indicated“) ist ungenau und spiegelt die Schwierigkeit wieder, die Simultaneität von Unterscheidung und Anzeige in ein Nacheinander zu überführen.

Die Axiome
Über den
Begriff des Motivs erschließt sich, dass jemand eine Unterscheidung nur trifft, weil er schon einen Unterschied hinsichtlich eines Wertes sieht:

„Es kann keine Unterscheidung geben ohne Motiv, und es kann kein Motiv geben, wenn nicht Inhalte als unterschiedlich im Wert angesehen werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 1)
There can be no distinction without motive and there can be no motive unless contents are seen to differ in value.(SPENCER BROWN, 1969: 1)

Eine Unterscheidung zu treffen verlangt also zunächst nach einem Motiv, andernfalls gäbe es keinen Anlass, eine Unterscheidung zu treffen. Eine Absicht zu haben setzt voraus, dass man wertet, und zu werten beruht auf einem Unterschied hinsichtlich eines Wertes.

Das heißt,
man erkennt einen Sinn darin, eine Unterscheidung zu treffen.

Ein Motiv setzt voraus, dass man schon einen gewissen Unterschied sieht. Die beiden Seiten, die die Unterscheidung hervorbringt, haben nicht den gleichen Wert.
Bezogen auf einen Beobachter heißt eine Unterscheidung zu treffen immer: zu werten.

Wenn aber ein Motiv für eine Unterscheidung notwendig ist, und im Wert unterschiedene Inhalte notwendig für ein Motiv sind, dann geht jeder Unterscheidung notwendig eine andere voraus. Damit kann jede Unterscheidung nur im Raum einer anderen (auf einer Seite der anderen) getroffen werden, und
wir können niemals die erste Unterscheidung treffen. Dies liefert uns ein erstes Indiz dafür, dass sie durch unsere Existenz als Beobachter schon immer getroffen ist (vgl. im erkenntnistheoretischen Teil das „ungeschriebene Kreuz“, S. 153)

Über den Begriff des Motivs wird demnach auch der Begriff des Wertes eingeführt, der wesentlich für die Ableitung der Axiome ist. Die schon getroffene Unterscheidung zwischen Werten liefert das Motiv, eine Unterscheidung eben aufgrund der Setzung verschiedener Werte zu treffen. Und wenn wir eine Seite einer Unterscheidung anzeigen, können wir einen Namen verwenden, mit dem wir den Wert des Inhaltes anzeigen.

„Wenn ein Inhalt einen Wert hat, kann ein Name herangezogen werden, diesen Wert zu bezeichnen [anzuzeigen; F. L.].“ (SPENCER BROWN 1997: 1)
„If a content is of value, a name can be taken to indicate this value.“ (
SPENCER BROWN 1969: 1)

Das heißt auch, dass jede Verwendung des Namens mit dem zugehörigen Wert identifiziert werden kann. Der Name wird verwendet, um den Wert anzuzeigen. Oder umgekehrt: Der Name verweist auf eine Anzeige, diese auf eine Unterscheidung und die Unterscheidung auf einen Wert.

„Somit kann das Nennen des Namens mit dem Wert des Inhalts identifiziert werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 1)
„Thus the calling of the name can be identified with the value of the content.“ (
SPENCER BROWN 1969: 1)

Das heißt also, dass man einen Bezug herstellen kann zwischen dem Namen und dem Wert. Den Seiten oder Inhalten werden Werte zugeordnet und sie werden benannt. Wert und Name sind nicht identisch, aber dieser Wert gehört zu dieser Seite und jener zu jener.

Mit „Identifizieren“ ist nur oberflächlich gesehen ein Zuordnen gemeint. Das Nennen des Namens und der Wert des Inhalts sind nicht identisch, sondern das Eine geht mit dem Anderen einher. Der Zusammenhang ist ein anderer als beispielsweise der zwischen Wahrheitswerten und Aussagenvariablen, der ein Zuordnen im Wortsinne darstellt.
Jedes Nennen des Namens ist die Markierung einer Unterscheidung, also der markierte Wert oder Zustand. Deshalb können sie miteinander identifiziert werden.

Mit einer Unterscheidung ist eine Grenze gezogen. Das Treffen einer Unterscheidung beinhaltet einerseits eine Anzeige der einen und nicht der anderen Seite, woher die Asymmetrie rührt, und andererseits das Kreuzen einer Grenze, womit man auf die andere Seite gelangt bzw. den Wert ändert.

Die beiden folgenden Axiome „Gesetz des Nennens“ und „Gesetz des Kreuzens“ greifen diese unterschiedlichen Handhabungen der Unterscheidung auf und regeln, wie zu verfahren ist, wenn das Nennen oder Kreuzen wiederholt auftreten.

Vom mathematischen Standpunkt ist dabei der Übergang von den Begriffen Unterscheidung und Anzeige auf den Begriff des Wertes wesentlich. In diesem vorbereitenden, begründenden Kapitel der Laws of Form wird noch mit den Begriffen „angezeigt“ und „unangezeigt“ gearbeitet bzw. später (im Vollzug des Kalküls) wird mit „markiert“ und „unmarkiert“ operiert, und deshalb muss gewährleistet sein, dass das Nennen eines Namens und das Kreuzen einer Grenze mit den Werten der Seiten einer Unterscheidung identifiziert werden können.

Mit dem Treffen einer Unterscheidung sind der angezeigte und der unangezeigte Zustand gegeben, so dass, wenn ein markierter Zustand seinen Wert ändert, das Resultat mit dem unmarkierten gleichgesetzt werden kann und umgekehrt: Wenn ein unmarkierter Zustand seinen Wert ändert, kann das Resultat mit dem markierten gleichgesetzt werden.

Da die Unterscheidung perfekt ist, führt jedes Kreuzen der Grenze auf die andere Seite der Unterscheidung. Wenn wir eine Unterscheidung ein weiteres Mal treffen, gibt es die Möglichkeiten, dass die Wiederholung einen Unter¬schied macht oder dass sie keinen macht. Das heißt es kann nur zwei Anschlussoperationen geben: die Bestätigung der Asymmetrie durch eine weitere Anzeige oder die Aufhebung der Asymmetrie (und damit der Unterscheidung) durch das Kreuzen der Unterscheidung. Dieser Unterschied findet Ausdruck in den beiden folgenden Axiomen.

Bei dem ersten Axiom geht es darum, dass jede Nennung die gleiche Seite benennt und es nicht zu einem Wechsel des Wertes kommt. Dies findet Ausdruck in

Axiom 1: „Der Wert einer nochmaligen Nennung ist der Wert der Nennung.“ (SPENCER BROWN 1997: 2)
„Axiom 1 (law of calling): The value of a call made again is the value of the call.“ (
SPENCER BROWN 1969: 1)


Das erste Axiom wird auch „
Gesetz des Nennens“ genannt. Einen Namen zwei- oder mehrmals zu nennen, ändert nichts an dem Wert. Das erste Axiom besagt: Wenn wir die Verwendung eines Namens mit dem Wert identifizieren können, dann ändert eine mehrmalige Verwendung nichts. Eher würde man davon sprechen, dass der Gebrauch des Namens seine Verwendung bekräftigt. Auf dieser Ebene der Allgemeinheit, auf der wir uns hier bewegen, kann man aber in einem strengen Sinne nicht von Bekräftigung reden. Genauso wenig ist damit gemeint, dass beispielsweise in der Lautstärke zunehmende Aufforderungen nicht unterschiedlich sind. Und es bleibt damit natürlich möglich, auch einem mehrmaligen Auftreten eines Signals eine andere Bedeutung zu geben als einem einmaligen, wie beispielsweise bei Klopf- oder Klingelzeichen. Bezüglich des Wertes, der mathematisch betrachtet mit keiner Bedeutung belegt ist, außer eben markiert oder unmarkiert zu sein, ändert ein mehrmaliges Nennen aber nichts.

Wenn wir eine Unterscheidung treffen, kreuzen wir die Grenze der Unterscheidung und gelangen auf die andere Seite. Auch das Kreuzen der Grenze kann mit dem Wert des Inhaltes identifiziert werden. Da nur zwei Seiten vorliegen, ist es möglich, den Wert auch noch nach dem Kreuzen zuzuordnen.

„Somit kann das Kreuzen der Grenze ebenfalls mit dem Wert des Inhalts identifiziert werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 2)
„Thus also, the crossing of the boundary can be identified with the value of the content.“ (
SPENCER BROWN 1969: 2)


Hier ist mit „Identifizieren“ das gleiche gemeint wie beim Nennen des Namens, aber geschieht in diesem Fall auf eine andere Weise. Mit dem Nennen des Namens ging der Wert des Zustandes einher. Nun können das Kreuzen der Grenze und der Wert des Inhaltes miteinander identifiziert werden, weil die Unterscheidung genau zwei Seiten hervorbringt, so dass man die Seite und den Wert nach der Kreuzung kennt, wenn man den Wert des Zustandes vor der Kreuzung wusste. Wir gaben der Unterscheidung auch die Eigenschaft, eine Anweisung zu sein, die Grenze der Unterscheidung zu kreuzen. Nun bedeutet die Wiederholung, dass sich der Zustand ändert.

Axiom 2: „Der Wert eines nochmaligen Kreuzens ist nicht der Wert des Kreuzens.“ (SPENCER BROWN 1997: 2)
„Axiom 2 (law of crossing): The value of a crossing made again is not the value of the crossing.“ (
SPENCER BROWN 1969: 2)

Das zweite Axiom wird auch als „Gesetz des Kreuzens“ bezeichnet. Jedes Kreuzen bringt einen auf die andere Seite. Nochmaliges Kreuzen heißt demnach die Seite und damit den Wert zu ändern. Diese Axiome verdeut¬lichen den Unterschied zwischen Nennung und Kreuzung. Sie können auf je ihre Weise mit einem Wert des Inhaltes identifiziert werden.

Das Gesetz des Nennens versinnbildlicht die Möglichkeit, dass die Wiederholung keinen Unterschied macht, und so bleibt der Wert einer nochmaligen Nennung der Wert der Nennung. Im Gesetz des Kreuzens verändert sich der Wert durch die Wiederholung: Der Wert vor dem Kreuzen ist nicht der Wert nach dem Kreuzen.

Somit gilt für jeden Namen: „Wieder-Nennen ist Nennen“,
und für jede Grenze: „Wieder-Kreuzen ist nicht Kreuzen“
. (SPENCER BROWN 1997: 2)
(...) to recall is to call“ und „(...) to recross is not to cross“. (
SPENCER BROWN 1969: 1f.)

George Spencer Brown bemerkt in den Anmerkungen zu den Laws of Form, dass es genüge, sich aus dem ersten Kapitel die Definition der Unterscheidung als perfekte Be-Inhaltung und die beiden Axiome zu merken. Wir ergänzen, dass die Axiome als grundlegende Formen der Veränderung von Ausdrücken für die Entfaltung und Formalisierung des Kalküls benötigt werden und dass sich im 11. Kapitel der Laws of Form die Definition verändern wird (vgl. in diesem Text Kapitel I. 4.: „Der re-entry und der imaginäre Wert“, S. 96).

Felix Lau

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